(2025湖丽衢二模)对于给定的 $n$ 项整数数列 $A_n$ : $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ , $a_n$ ( $n\geqslant3$ ), 定义变换 $H(i)$ :
①若 $i=1$ , 则 $a_1$ 加 2, $a_n$ , $a_2$ 均加 1, 其余项不变;
②若 $1<i<n$ , 则 $a_i$ 加 2, $a_{i-1}$ , $a_{i+1}$ 均加 1, 其余项不变;
③若 $i=n$ , 则 $a_n$ 加 2, $a_{n-1}$ , $a_1$ 均加 1, 其余项不变.
例如, 对数列: $-1,0,1$ 做变换 $H(1)$ 得到 $1,1,2$ , 即 $-1,0,1\xrightarrow{\text{变换}H(1)}1,1,2$ ; 而对数列: $2,5,7,3$ 先后做变换 $H(3)$ , $H(4)$ 可得到 $3,6,10,6$ , 即 $2,5,7,3\xrightarrow{\text{变换}H(3)}2,6,9,4\xrightarrow{\text{变换}H(4)}3,6,10,6$ .
证明：当 $n$ 为奇数时, 对于任意数列 $A_n$ , 总存在一系列变换能使该数列成为常数列.

证明：

首先将数列首尾相连围成一圈，那定义中的①②③就化为一句话：
选中某项 ${}+2$ ，相邻的两项 ${}+1$ ，其余项不变。

注意到：如果有一系列变换，使数列的首项 ${}+(m+1)$ 且其余项都 ${}+m$ （以下简称“相对增加 1”），则一定能使该数列变成常数列。

道理很简单，若首项能相对增加 1，重复 $k$ 次就能相对增加 $k$ ，而将变换的位置旋转一下，则任意一项都能相对增加任意正整数，于是就能逐一将非最大项追上最大项，最终变成常数列。

以 $n=3$ 为例：
由定义知，只有三项时 $H(i)$ 就使第 $i$ 项相对增加 1，于是比如 $a_3$ 是最大项，那就作 $a_3-a_1$ 次 $H(1)$ ， $a_1$ 就追上 $a_3$ ，再作 $a_3-a_2$ 次 $H(2)$ ， $a_2$ 也追上 $a_3$ ，就 OK 了。

所以，接下来只需证明：当 $n>3$ 且为奇数时，必存在一系列变换，使数列的首项相对增加 1。

下面设：在一系列变换中，变换 $H(i)$ 一共作了 $h_i$ 次。

$a_1$ 的变化只与 $H(n)$ , $H(1)$ , $H(2)$ 有关，其中 $H(1)$ 使之 ${}+2$ ，另外两个 ${}+1$ ，所以 $a_1$ 会变成 $a_1+h_n+2h_1+h_2$ ，其他项同理，即
\begin{align*} a_1&\to a_1+h_n+2h_1+h_2,\\ a_i&\to a_i+h_{i-1}+2h_i+h_{i+1},\quad i=2,\dots,n-1,\\ a_n&\to a_n+h_{n-1}+2h_n+h_1, \end{align*}
再令 $c_i=h_i+h_{i+1}$ （ $1\leqslant i<n$ ）及 $c_0=c_n=h_n+h_1$ ，那上式就统一写为
\[a_i\to a_i+c_{i-1}+c_i,\quad i=1,\dots,n.\]

要使 $a_1$ 相对增加 1，就得找一数列 $\{c_i\}$ 使得
\[(c_n+c_1)-1=c_1+c_2=c_2+c_3=\cdots=c_{n-1}+c_n,\]
记 $c_1=c$ ，由上式易得
\[\{c_i\}=\{c,c-1,c,c-1,\dots,c\},\]
再记 $h_1=x$ ，由 $h_{i+1}=c_i-h_i$ 得
\[\{h_i\}=\left\{x,c-x,x-1,c-x+1,x-2,c-x+2,\ldots,x-\frac{n-1}2\right\},\]
还得满足 $h_n+h_1=c_n=c$ ，即
\[x-\frac{n-1}2+x=c\iff x=\frac c2+\frac{n-1}4,\]
代回去得
\[\{h_i\}=\left\{\frac c2+\frac{n-1}4,\frac c2-\frac{n-1}4,\frac c2+\frac{n-5}4,\frac c2-\frac{n-5}4,\frac c2+\frac{n-9}4,\frac c2-\frac{n-9}4,\ldots,\frac c2-\frac{n-1}4\right\},\]
为了让上式所有项均为非负整数，可以取 $c=(n-1)/2$ ，得到
\[\{h_i\}=\left\{\frac{n-1}2,0,\frac{n-3}2,1,\frac{n-5}2,2,\ldots,\frac{n-3}2,0\right\},\]
（奇数项由 $\frac{n-1}2$ 递减至 0，偶数项由 0 递增至 $\frac{n-3}2$ ）
该 $\{h_i\}$ 就能使系列变换完之后： $a_1\to a_1+n-1$ ，其余的 $a_i\to a_i+n-2$ ，这样就得证了。

验证一下：

$n=5$ 时， $\{h_i\}=\{2,0,1,1,0\}$ ，也就是 $H(1)$ 作 $2$ 次， $H(3)$ , $H(4)$ 各作一次，可使 $\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ 变成 $\{a_1+4,a_2+3,a_3+3,a_4+3,a_5+3\}$ ，实现了首项相对增加 1，而要想相对增第二项，轮换一下 $h_i$ ，即 $\{h_i\}=\{0,2,0,1,1\}$ 即可。
例如：原数列是 $A_5$ : 1, 2, 3, 4, 5，那 $a_1$ 要相对增 4 次， $a_2$ 要相对增 3 次等等，则计算
4*{2,0,1,1,0}+3*{0,2,0,1,1}+2*{1,0,2,0,1}+{1,1,0,2,0}={11,7,8,9,5},
即所需的 $\{h_i\}=\{11,7,8,9,5\}$ ，这时还可以全减 5（因为全部变换都作一次就相当于没作）得 $\{h_i\}=\{6, 2, 3, 4, 0\}$ ，即：
作 6 次 $H(1)$ 、2 次 $H(2)$ 、3 次 $H(3)$ 、4 次 $H(4)$ ，数列 $A_5$ : 1, 2, 3, 4, 5 就会变成常数列 15, 15, 15, 15, 15；

$n=7$ 时， $\{h_i\}=\{3,0,2,1,1,2,0\}$ ，有 $\{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_7\}\to\{a_1+6,a_2+5,a_3+5,\ldots,a_7+5\}$ ；

$n=9$ 时， $\{h_i\}=\{4,0,3,1,2,2,1,3,0\}$ ，有 $\{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_9\}\to\{a_1+8,a_2+7,a_3+7,\ldots,a_9+7\}$ 。